解:由題設得S
n2+2S
n+1-a
nS
n=0,當n≥2(n∈N
*)時,a
n=S
n-S
n-1,
代入上式,得S
n-1S
n+2S
n+1=0.(*)
S
1=a
1=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
,
∵S
n+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/938.png)
=a
n-2(n≥2,n∈N),令n=2可得
,S
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29535.png)
=a
2-2=S
2-a
1-2,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29535.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
-2,
∴S
2=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
.
同理可求得 S
3=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/602.png)
,S
4=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/155.png)
.
猜想S
n =-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20131.png)
,n∈N
+,下邊用數學歸納法證明:
①當n=1時,S
1=a
1=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
,猜想成立.
②假設當n=k時猜想成立,即S
K=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534384.png)
,則當n=k+1時,∵S
n+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/938.png)
=a
n-2,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534385.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534386.png)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534387.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534384.png)
-2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534388.png)
,
∴S
K+1=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534389.png)
,∴當n=k+1時,猜想仍然成立.
綜合①②可得,猜想對任意正整數都成立,即 S
n =-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20131.png)
,n∈N
+成立.
分析:由題設可得 S
n-1S
n+2S
n+1=0,求得S
1,S
2,S
3 的值,猜測S
n =-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20131.png)
,n∈N
+;用數學歸納法證明,檢驗n=1時,猜想成立;假設S
K=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534384.png)
,則當n=k+1時,由條件可得,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534386.png)
,解出 S
K+1=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534389.png)
,故n=k+1時,猜想仍然成立.
點評:本題考查歸納推理,用數學歸納法證明等式,證明當n=k+1時,S
n =-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20131.png)
,n∈N
+,是解題的難點.