精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

已知數列{an}的前n項和為Sn,數學公式,滿足數學公式,計算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達式.

解:由題設得Sn2+2Sn+1-anSn=0,當n≥2(n∈N*)時,an=Sn-Sn-1
代入上式,得Sn-1Sn+2Sn+1=0.(*)
S1=a1=-,
∵Sn+=an-2(n≥2,n∈N),令n=2可得
,S2+=a2-2=S2-a1-2,
=-2,
∴S2=-
同理可求得 S3=-,S4=-
猜想Sn =-,n∈N+,下邊用數學歸納法證明:
①當n=1時,S1=a1=-,猜想成立.
②假設當n=k時猜想成立,即SK=-,則當n=k+1時,∵Sn+=an-2,∴,
,∴=-2=,
∴SK+1=-,∴當n=k+1時,猜想仍然成立.
綜合①②可得,猜想對任意正整數都成立,即 Sn =-,n∈N+成立.
分析:由題設可得 Sn-1Sn+2Sn+1=0,求得S1,S2,S3 的值,猜測Sn =-,n∈N+;用數學歸納法證明,檢驗n=1時,猜想成立;假設SK=-,則當n=k+1時,由條件可得,,解出 SK+1=-,故n=k+1時,猜想仍然成立.
點評:本題考查歸納推理,用數學歸納法證明等式,證明當n=k+1時,Sn =-,n∈N+,是解題的難點.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

19、已知數列{an}的前n項和Sn=n2(n∈N*),數列{bn}為等比數列,且滿足b1=a1,2b3=b4
(1)求數列{an},{bn}的通項公式;
(2)求數列{anbn}的前n項和.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的前n項和Sn=an2+bn(a、b∈R),且S25=100,則a12+a14等于( �。�
A、16B、8C、4D、不確定

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的前n項和Sn=n2+n+1,那么它的通項公式為an=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

13、已知數列{an}的前n項和為Sn=3n+a,若{an}為等比數列,則實數a的值為
-1

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn+1=kSn+2,又a1=2,a2=1.
(1)求k的值及通項公式an
(2)求Sn

查看答案和解析>>

同步練習冊答案