【答案】
分析:(Ⅰ)當n=1時,S
1=2a
1-2
2得a
1=4.由S
n=2a
n-2
n+1,S
n-1=2a
n-1-2
n,得a
n=2a
n-1+2
n,由此能夠證明數(shù)列
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/0.png)
是等差數(shù)列.
(Ⅱ)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/1.png)
,知a
n=(n+1)•2
n.因為a
n>0,所以不等式a
n+1<(5-λ)a
n等價于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/2.png)
.因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/3.png)
,而0<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/4.png)
≤1,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/5.png)
,由此能求出使不等式a
n+1<(5-λ)a
n成立的λ的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)當n=1時,S
1=2a
1-2
2得a
1=4.S
n=2a
n-2
n+1,
當n≥2時,S
n-1=2a
n-1-2
n,
兩式相減得a
n=2a
n-2a
n-1-2
n.
即a
n=2a
n-1+2
n,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/6.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/7.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/8.png)
.
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/9.png)
,
所以數(shù)列
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/10.png)
是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/11.png)
,
即a
n=(n+1)•2
n.
因為a
n>0,所以不等式a
n+1<(5-λ)a
n等價于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/12.png)
.
因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/13.png)
,
而0<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/14.png)
≤1,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123619591358139/SYS201310251236195913581018_DA/15.png)
,
故3<5-λ,即λ<2.
故使不等式a
n+1<(5-λ)a
n成立的λ的取值范圍是(-∞,2). …(12分)
點評:本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項,結(jié)合含兩個變量的等式的處理問題,對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”,以及運用一般與特殊的關(guān)系進行否定,本題有一定的探索性.綜合性強,難度大,易出錯.