Question

已知：函數(shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）已知a∈R，設(shè)P：當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-ax是單調(diào)函數(shù)．如果滿足P成立的a的集合記為A，滿足Q成立的a的集合記為B，求A∩∁_RB（R為全集）．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=-1，y=1，由條件，結(jié)合f（1）=0，即可得到f（0）；
（2）令y=0，結(jié)合f（0），即可求出f（x）的解析式；
（3）化簡不等式f（x）+3＜2x+a，得到x²-x+1＜a，求出左邊的范圍，由恒成立得到a的范圍；由二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到集合B，從而求出A∩∁_RB．

解答： 解：（1）令x=-1，y=1，則由已知f（0）-f（1）=-1×（-1+2+1）
∵f（1）=0，∴f（0）=-2；                                       
（2）令y=0，則f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2，∴f（x）=x²+x-2；                                  
（3）不等式f（x）+3＜2x+a， 即x²+x-2+3＜2x+a  即x²-x+1＜a，     
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，

3

4

＜x2-x+1＜1，
又(x-

1

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)2+

3

4

＜a恒成立，故A={a|a≥1}，                                  
g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2 
又g（x）在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，故有

a-1

2

≤-2，或

a-1

2

≥2，
∴B={a|a≤-3，或a≥5}，                           
∴A∩C_RB={a|1≤a＜5}．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時(shí)考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值的問題，以及函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，屬于中檔題．