Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱，當x∈[-2，0]時，f（x）=（

1

2

）^x-1，若關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1），在區(qū)間（-2，6]內(nèi)恰有三個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意，關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1），在區(qū)間（-2，6]內(nèi)恰有三個不同實根可化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log_a（x+2）有三個不同的交點，作出函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log_a（x+2）的圖象，由圖象解出答案．

解答： 解：由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱，當x∈[-2，0]時，f（x）=（

1

2

）^x-1，
又∵y=log_a（x+2）（a＞1），
作出它們在區(qū)間（-2，6]內(nèi)圖象如下圖

關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1），在區(qū)間（-2，6]內(nèi)恰有三個不同實根，
可化為：函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log_a（x+2）有三個不同的交點，
故當過（6，3），（2，3）時為界，
即log_a（6+2）=3，log_a（2+2）=3，
解得，a=2或a=

3	4

，
故答案為：（

3	4

，2）．

點評：本題考查了方程的根與函數(shù)的零點之間的關(guān)系，同時考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想應用，屬于中檔題．