Question

設(shè)函數(shù)

(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)令，其圖象上任意一點P(x₀，y₀)處切線的斜率k≤恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)當時，方程 在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

證明：(1)f(1)－2f(2)＋f(3)＝1＋p＋q－2(4＋2p＋q)＋9＋3p＋q＝2.

解：(1)依題意知，f(x)的定義域為(0，＋∞)．

當時，f(x)＝lnx－x²－x，f′(x)＝－x－＝，

令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．…………2分

當0＜x＜1時，f′(x)＞0，當x＞1時，f′(x)＜0，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞).

(2)F(x)＝lnx＋，x∈(0,3]，

則有k＝F′()＝≤在(0,3]上恒成立.

所以 ，

當＝1時，－x＋取得最大值. .

(3)當時，f(x)＝lnx＋x，

由f(x)＝mx，得lnx＋x＝mx，

又x＞0，∴m＝1＋.

要使方程f(x)＝mx在區(qū)間上有唯一實數(shù)解．

只需m＝1＋有唯一實數(shù)解，令g(x)＝1＋(x＞0)，∴g′(x)＝，

由g′(x)＞0，得0＜x＜e.g′(x)＜0，得x＞e，

∴g(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)．

g(1)＝1，g(e²)＝1＋＝1＋，g(e)＝1＋，

∴m＝1＋或1≤m＜1＋.