【題目】已知函數(shù).
(1)若有兩個極值點,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)已知,
,
是
的三個零點,且
.當(dāng)
時,求證:
.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)求導(dǎo)得到,設(shè)
,得到
,從而得到
的單調(diào)性和
,根據(jù)
有兩個極值點,結(jié)合零點存在定理,得到
的范圍;(2)當(dāng)
時,可知
單調(diào)遞增,不符合題意,當(dāng)
時,得到
,記
,利用導(dǎo)數(shù)求出
的單調(diào)性,從而確定
的兩根的范圍,結(jié)合
的范圍,得到
的范圍,從而得證.
(1),
,
設(shè)
時,
,所以
單調(diào)遞減,即
單調(diào)遞減;
時,
,所以
單調(diào)遞增,即
單調(diào)遞增;
所以,
因為有兩個極值點,所以
有兩個解,
所以,即
,
又因為和
時,都有
,
所以即為所求..
(2)證明:(ⅰ)當(dāng),由(1)可知
,
所以在
上單調(diào)遞增,
所以至多一個零點,與條件矛盾,
所以.
(ⅱ)當(dāng)時,由(1)可知:
,
時
單調(diào)遞增;
時
單調(diào)遞減.
因為,所以
.
當(dāng)時,由
可得
,
記,則
、
是
的兩根.
,
記,
則.
易知和
時,都有
,又
,
所以在
上單調(diào)遞增..
又因為,
所以時,
,
即,所以
單調(diào)遞減;
時,
,
即,
單調(diào)遞增,
設(shè)的兩根為
∵∴
∵∴
.
當(dāng)時,
的兩根
、
滿足
,
則,證畢.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解全市統(tǒng)考情況,從所有參加考試的考生中抽取4000名考生的成績,頻率分布直方圖如下圖所示.
(1)求這4000名考生的半均成績(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表);
(2)由直方圖可認(rèn)為考生考試成績z服從正態(tài)分布,其中
分別取考生的平均成績
和考生成績的方差
,那么抽取的4000名考生成績超過84.81分(含84.81分)的人數(shù)估計有多少人?
(3)如果用抽取的考生成績的情況來估計全市考生的成績情況,現(xiàn)從全市考生中隨機抽取4名考生,記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為,求
.(精確到0.001)
附:①;
②,則
;
③.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念已經(jīng)深入人心,這將推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.下表是近幾年我國某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表:
某機構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)30位購車車主的性別與購車種類情況,得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:
(1)求新能源乘用車的銷量關(guān)于年份
的線性相關(guān)系數(shù)
,并判斷
與
是否線性相關(guān);
(2)請將上述列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有
的把握認(rèn)為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關(guān);
(3)若以這30名購車車主中購置新能源乘用車的車主性別比例作為該地區(qū)購置新能源乘用車的車主性別比例,從該地區(qū)購置新能源乘用車的車主中隨機選取50人,記選到女性車主的人數(shù)為,求
的數(shù)學(xué)期望與方差.
參考公式:
,
,其中
.
,若
,則可判斷
與
線性相交.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)若不等式對
恒成立,求
的最小值;
(2)證明:.
(3)設(shè)方程的實根為
.令
若存在
,
,
,使得
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
的極值;
(2)當(dāng)時,討論函數(shù)
的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖三棱錐A-BCD中,BD⊥CD,E,F分別為棱BC,CD上的點,且BD∥平面AEF,AE⊥平面BCD.
(1)求證:平面AEF⊥平面ACD;
(2)若,
為
的中點,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與拋物線
:
交于
,
兩點,且
的面積為16(
為坐標(biāo)原點).
(1)求的方程;
(2)直線經(jīng)過
的焦點
且
不與
軸垂直,與
交于
,
兩點,若線段
的垂直平分線與
軸交于點
,證明:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】生男生女都一樣,女兒也是傳后人.由于某些地區(qū)仍然存在封建傳統(tǒng)思想,頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿,現(xiàn)隨機抽取某地200戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計.這200戶家庭中,頭胎為女孩的頻率為0.5,生二孩的頻率為0.525,其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數(shù)為60.
(1)完成下列列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認(rèn)為是否生二孩與頭胎的男女情況有關(guān);
生二孩 | 不生二孩 | 合計 | |
頭胎為女孩 | 60 | ||
頭胎為男孩 | |||
合計 | 200 |
(2)在抽取的200戶家庭的樣本中,按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶,進(jìn)一步了解情況,在抽取的7戶中再隨機抽取4戶,求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中
).
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