Question

已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）求此幾何體的體積V的大��；
（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（3）求二面角A-ED-B的正弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,二面角的平面角及求法

專題：計算題

分析：（1）通過已知條件可知，AC⊥底面BCED，再求出梯形BCED的面積，根據(jù)三棱錐的體積公式即可求出體積．
（2）先找到異面直線所成的角，可過B作DE的平行線，則角ABF便是異面直線所成的角，根據(jù)條件求出即可．
（3）先找出二面角的平面角，過C作CG⊥ED，并交ED于G，連接AG，則∠AGC即是所找的二面角的平面角，根據(jù)條件求出即可．

解答： 解：（1）∵∠ACE，∠ACB都是直角，∴AC⊥BC，AC⊥CE，CB∩CE=C，CB?平面BCED，CE?平面BCED；
∴AC⊥平面BCED．
∴V=

1

3

SBCED•AC=

1

3

×12×4=16．
（2）取CE中點F，連接BF，則BF∥DE，則∠ABF即異面直線DE與AB所成的角，連接AF．
在△ABF中，AB=4

2

，BF=2

5

，AF=2

5

；
∴由余弦定理得：cos∠ABF=

BF2+AB2-AF2

2BF•AB

=

20+32-20

2×2 5 ×4 2

=

10

5

；
異面直線DE與AB所成角的余弦值是

10

5

．
（3）過C作CG⊥DE，交DE于G，連接AG，∵AC⊥平面BCED，ED?平面BCED，∴AC⊥ED；
∴ED⊥平面ACG，AG?平面ACG，∴ED⊥AG，∴∠AGC是二面角A-ED-B的平面角；
在Rt△ACG中，AC=4，CG=4×

4

20

=

8 5

5

，∠ACG=90°；
∴tan∠AGC=

4

8 5 5

=

5

2

，sin∠AGC=

5

3

．

點評：求異面直線所成角時，通過作另一直線的平行線，找出這個角，然后把它放在一個三角形里去求即可．求二面角時，先找到二面角的平面角，然后把它放在一個三角形里去求即可．