Question

（2009•黃岡模擬）已知拋物線C：y²=2px的準線方程x=-

1

4

，C與直線?₁：y=x在第一象限相交于點P₁，過P₁作C的切線m₁，過P₁作m₁的垂線g₁交x軸正半軸于點A₁，過A₁作?₁的平行線?₂交拋物線C于第一象限內的點P₂，過P₂作拋物線C₁的切線m₂，過P₂作m₂的垂線g₂交x軸正半軸于點A₂，…，依此類推，在x軸上形成一點列A₁，A₂，A₃，…，A_n（n∈N*），設點A_n的坐標為（a_n，0）．
（Ⅰ）試探求a_n+1關于a_n的遞推關系式；
（Ⅱ）求證：an≤3•2n-1-

3

2

；
（Ⅲ）求證：

3

(2a1+3)•2

+

4

(2a2+3)•6

+…+

n+2

(2an+3)•n•(n+1)

≥

1

3

-

1

3•2n•(n+1)

．

Answer 1

分析：（I）根據準線方程求出p的值，從而求出拋物線方程，然后將直線與拋物線聯立方程組，求出P_n+1的坐標，求出切線m_n+1的斜率得到直線g_n+1的斜率，從而求出直線g_n+1的方程，令y=0，x=a_n+1得到a_n+1關于a_n的遞推關系式；
（II）由已知易得P₁（1，1），直線m₁的斜率k_m1=

1

2

，則直線g₁的方程為：y-1=-2（x-1）令y=0得a₁=

3

2

．然后利用放縮法可證得結論；
（III）由（II）知：2a_n+3≤3•2ⁿ，然后利用裂項求和法即可證得結論．

解答：解：（I）由題意知：-

p

2

=-

1

4

， ∴p=

1

2

， ∴C1：y2=x．（1分）
由題意知?_n+1：y=x-a_n聯立y²=x得：y²-y-a_n=0，∵y＞0．
∴y=

1+ 1+4an

2

， ∴Pn+1(an+

1+ 1+4an

2

， 

1+ 1+4an

2

)．（3分）
∴切線m_n+1的斜率為kmn+1=

1

4an+1 +1

，∴直線g_n+1的斜率kgn+1=-(

4an+1

+1)，
∴直線g_n+1的方程為y-

1+ 1+4an

2

=-(

4an+1

+1)(x-an-

1+ 1+4an

2

)
令y=0，x=a_n+1得：a_n+1=a_n+1+

1+4an

2

．（5分）
（Ⅱ）由已知易得P₁（1，1），直線m₁的斜率k_m1=

1

2

，
∴直線g₁的方程為：y-1=-2（x-1）令y=0得a₁=

3

2

．（7分）
a_n+1=a_n+1+

1• 1+4an

2

＜an+1+

1+(1+4an)

4

=2an+

3

2

．（9分）
∴a_n+1+

3

2

＜2(an+

3

2

)＜22(an-1+

3

2

)＜…＜2n(a1+

3

2

)=3•2n．
當n≥2時∴a_n+

3

2

＜3•2n-1，即：a_n＜3•2^n-1-

3

2

．
當n=1時，a₁=

3

2

≤3•21-1-

3

2

故a_n＜3•2^n-1-

3

2

．（11分）
（用數學歸納法證明亦可）
（III）由（II）知：2a_n+3≤3•2ⁿ．
∴

n+2

(2an+3)n(n+1)

≥

n+2

3•2n•n(n+1)

=

2(n+1)-n

3•2n•n•(n+1)

=

1

3

[

1

2n-1•n

-

1

2n•(n+1)

]
∴

3

(2a1+3)•2

+

4

(2a2+3)•6

+…+

n+2

(2an+3)•n•(n+1)

≥

1

3

[(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

12

)+…+(

1

2n-1•n

-

1

2n•(n+3)

)]
=

1

3

-

1

3•2n(n+1)

．（12分）

點評：本題主要考查了數列與解析幾何綜合，以及數列與不等式的綜合，是一道比較難的題目．