Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos2x-2cos²（x+$\frac{π}{4}$）+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，sin（2x+$\frac{π}{3}$）的取值范圍，
即可求出f（x）的最大、最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos2x-2cos²（x+$\frac{π}{4}$）+1
=$\sqrt{3}$cos2x-cos（2x+$\frac{π}{2}$）
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為2，最小值為-$\sqrt{3}$；
且x=$\frac{π}{12}$時f（x）取得最大值2，x=$\frac{π}{2}$時f（x）取得最小值-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用問題，是中檔題．