Question

已知：函數(shù)f（x）=x³-6x²+3x+t，t∈R．
（1）求函數(shù)f（x）兩個(gè)極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圖象上兩點(diǎn)之間的距離；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=e^xf（x）有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，求t的取值范圍．（注：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²））

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）令f′（x）=3x²-12x+3=0，設(shè)其兩根為（x₁，x₂）（x₁＜x₂），利用韋達(dá)定理可得x₁+x₂=4，x₁x₂=1，進(jìn)而可求x₂-x₁，y₁-y₂，故可求函數(shù)f（x）兩個(gè)極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圖象上兩點(diǎn)之間的距離；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，函數(shù)g（x）=e^xf（x）有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以x³-3x²-9x+t+3=0有三個(gè)不等根，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x³-3x²-9x+t+3，可知h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，在（-1，3）上遞減，從而h（-1）＞0，h（3）＜0，故可求t的取值范圍．

解答： 解：（1）令f′（x）=3x²-12x+3=0，設(shè)其兩根為（x₁，x₂）（x₁＜x₂）
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1
∴x₂-x₁=2

3

，
設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圖象上兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
則y₁-y₂=（x₁³-6x₁²+3x₁+t）-（x₁³-6x₁²+3x₁+t）=12

3

，
∴函數(shù)f（x）兩個(gè)極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圖象上兩點(diǎn)之間的距離為

12+(12 3 )2

=2

111

（2）解：f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵g（x）有三個(gè)不同的極值點(diǎn)
∴x³-3x²-9x+t+3=0有三個(gè)不等根；
令h（x）=x³-3x²-9x+t+3，則h′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，在（-1，3）上遞減
∵h(yuǎn)（x）有三個(gè)零點(diǎn)
∴h（-1）＞0，h（3）＜0
∴t+8＞0，t-24＜0
∴-8＜t＜24．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)g（x）=e^xf（x）有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為x³-3x²-9x+t+3=0有三個(gè)不等根．