Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1（ω＞0）的最小正周期為8．
（1）求ω的值；
（2）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，求當(dāng)x∈[0，

4

3

]時(shí)y=g（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，進(jìn)而利用周期公式求得ω．
（2）先求得已知區(qū)間關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，利用（1）中函數(shù)解析式求得f（x）的最大值，進(jìn)而求得y=g（x）的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1=sinωx•

3

2

-

1

2

cosωx-2cos²

ω

2

x+1=

3

sin（ωx-

π

3

），
∵函數(shù)的最小正周期為8，
∴ω=

2π

T

=

π

4

．
（2）區(qū)間[0，

4

3

]關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)的區(qū)間為[

2

3

，2]，
∴y=g（x）在區(qū)間[0，

4

3

]上的最大值為y=f（x）在[

2

3

，2]的最大值，
∵f（x）=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），x∈[

2

3

，2]，
∴f（x）_max=f（2）=

3

sin

π

6

=

3

2

，即y=g（x）的最大值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．綜合考查了學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力．