Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，其左右焦點為F₁（-1，0）及F₂（1，0），過點F₁的直線交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點，且|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|構成等差數(shù)列．
（1）求橢圓C的方程；
（2）記△GF₁D的面積為S₁，△OED（O為原點）的面積為S₂．試問：是否存在直線AB，使得S₁=S₂？說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意，|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|構成等差數(shù)列，求出a，再利用c=1，求出b，即可求橢圓C的方程；
（2）假設存在直線AB，使得 S₁=S₂，確定G，D的坐標，利用△GFD∽△OED，即可得到結論．

解答： 解：（1）因為|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|構成等差數(shù)列，
所以2a=|AF₁|+|AF₂|=2|F₁F₂|=4，所以a=2．…（2分）
又因為c=1，所以b²=3，…（3分）
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．      …（4分）
（2）假設存在直線AB，使得 S₁=S₂，顯然直線AB不能與x，y軸垂直．
設AB方程為y=k（x+1）…（5分）
將其代入

x2

4

+

y2

3

=1，整理得 （4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以 x1+x2=

-8k2

4k2+3

．
故點G的橫坐標為

x1+x2

2

=

-4k2

4k2+3

．所以G（

-4k2

4k2+3

，

3k

4k2+3

）．…（8分）
因為 DG⊥AB，所以

3k 4k2+3

-4k2 4k2+3 -xD

×k=-1，解得x_D=

-k2

4k2+3

，
即D（

-k2

4k2+3

，0）…（10分）
∵Rt△GDF₁和∵Rt△ODE₁相似，∴若S₁=S₂，則|GD|=|OD|…（11分）
所以 

( -k2 4k2+3 - -4k2 4k2+3 )2+( 3k 4k2+3 )2

=|

-k2

4k2+3

|，…（12分）
整理得 8k²+9=0． …（13分）
因為此方程無解，所以不存在直線AB，使得 S₁=S₂．…（14分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．