（本小題滿分13分）
在數(shù)列{an}中，a1=1，an=n2[1+++…+] （n≥2，n∈N）
（1）當(dāng)n≥2時(shí)，求證：=
（2）求證：（1+）（1+）…（1+）<4

（1）利用
得到。
（2）當(dāng)時(shí)，

 
驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)， ，綜上所述，對(duì)任意，不等式都成立．

解析試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， ……………………1分
所以…………………4分
故 …………………………………………………………5分
（2）當(dāng)時(shí)，……6分
……8分
……10分
 ………………………11分
當(dāng)時(shí)， ……………………………………………………………12分
綜上所述，對(duì)任意，不等式都成立．……………………………………13分
考點(diǎn)：本題主要考查數(shù)列“裂項(xiàng)相消法”求和，“放縮法”證明不等式。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及數(shù)列的不等式證明問(wèn)題，往往需要先求和、再證明。本題（2）利用“裂項(xiàng)相消法”求得“數(shù)列的和”，利用放縮法，達(dá)到證明目的。易錯(cuò)忽視n=1的驗(yàn)證。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝4，公比q≠1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且成等差數(shù)列．
(1)求公比q的值；
(2)求Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在數(shù)列{an}（n∈N*）中，已知a1＝1，a2k＝－ak，a2k－1＝(－1)k+1ak，k∈N*. 記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.
（1）求S5，S7的值；
（2）求證：對(duì)任意n∈N*，Sn≥0.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

(本題滿分12分)
已知數(shù)列的前 n項(xiàng)和為，滿足，且.
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。
（Ⅲ）若 ， 求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

(本題滿分14分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
已知數(shù)列滿足．
（1）設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知數(shù)列中，,數(shù)列滿足。
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
已知二次函數(shù)同時(shí)滿足：①不等式的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立．
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列中，令，，求；
（3）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的變號(hào)數(shù)。令（為正整數(shù)），求數(shù)列的變號(hào)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知：數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.
（Ⅰ）求：，的值；
（Ⅱ）求：數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，求數(shù)列的
前項(xiàng)和.

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