Question

【題目】已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求不等式的解集；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，()(若是函數(shù)的極大值或極小值，則m為函數(shù)的極值點(diǎn)，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)).

①求a的取值范圍；

②證明：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①；②證明見解析

【解析】

（1）不等式變形為，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合，可得不等式的解集；

（2）①求出導(dǎo)函數(shù)，再由的導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，得的正負(fù)，從而得的單調(diào)性，由的極小值小于0及零點(diǎn)存在定理可得的范圍，②由極值點(diǎn)定義知是的極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，從而有，

設(shè)，則為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性得，從而可證題設(shè)結(jié)論．

（1）由得

令，∴，令

當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增

∴

注意到，結(jié)合單調(diào)性知不等式的解集為

（2）

，由題意知有上有兩個(gè)不等的實(shí)根

令，令

當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，

∴

要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，此時(shí)注意到

，∴在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，故的取值范圍為

②由為的2個(gè)極值點(diǎn)，且

∴滿足且由①知

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

則是的極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)

∴

設(shè)，則為偶函數(shù)

，

∴在上單調(diào)遞增

由時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增

∴，

又為偶函數(shù)，∴，，∴

從而．