Question

（本題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù),（其中）.

（Ⅰ）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn),求的值,并直接寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求方程在區(qū)間上實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）分別求出函數(shù)和的極值點(diǎn)，讓其相等即可解決即或，注意分類(lèi)討論；（Ⅱ）注意到，令分三種情況進(jìn)行討論，在的情況較為復(fù)雜，當(dāng)即或時(shí),若,由于,三個(gè)點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)已確定，易得原方程有唯一實(shí)數(shù)解；若時(shí),由于,由于函數(shù)值正負(fù)情況不知，所以需分類(lèi)討論即當(dāng)與最終才會(huì)獲解

試題解析：（Ⅰ）,

則, 1分

令,得或,而二次函數(shù)在處有極大值,所以或,

解得或； 4分

當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,,遞減區(qū)間為. 5分

當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為. 6分

（Ⅱ）

, 8分

令,,

當(dāng)即時(shí),無(wú)實(shí)根,故原方程的解為,滿(mǎn)足題意,

即原方程有唯一實(shí)數(shù)解； 9分

當(dāng)即或時(shí),

若,則的實(shí)數(shù)解為,故原方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解；

若,則的實(shí)數(shù)解為,故原方程在區(qū)間上有兩實(shí)數(shù)解,或； 10分

當(dāng)即或時(shí),

若,由于,此時(shí)在區(qū)間上有一實(shí)數(shù)解,故原方程有唯一實(shí)數(shù)解； 11分

若時(shí),由于,

當(dāng)即時(shí),在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解,故原方程有一實(shí)數(shù)解；

若即時(shí),在區(qū)間上無(wú)實(shí)數(shù)解,故原方程有無(wú)實(shí)數(shù)解； 13分

綜上,當(dāng)時(shí),原方程在上無(wú)實(shí)數(shù)解；

當(dāng)或時(shí),原方程在上有唯一實(shí)數(shù)解；

當(dāng)時(shí),原方程在上有兩不等實(shí)數(shù)解. 14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其綜合應(yīng)用