Question

已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為k， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）若拋物線的焦點(diǎn)在直線的下方，求k的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)C為W上一點(diǎn)，且，過兩點(diǎn)分別作W的切線，記兩切線的交點(diǎn)為，求的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）解：拋物線的焦點(diǎn)為.                         

由題意，得直線的方程為，               

令 ，得，即直線與y軸相交于點(diǎn).  

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線的下方，

所以 ，

解得 .                                              

（Ⅱ）解：由題意，設(shè)，，，

聯(lián)立方程 消去，得，

由韋達(dá)定理，得，所以 .                 

同理，得的方程為，.        

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，

所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，

所以切線的方程為， 即. 

同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.

聯(lián)立兩條切線的方程

解得，，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.                   

因此點(diǎn)在定直線上.                        

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立．      

由，得，驗(yàn)證知符合題意.

所以當(dāng)時(shí)，有最小值.