Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=ax-2a．
（1）對(duì)于任意a∈[-2，2]都有f（x）＞g（x） 成立，求x的取值范圍；
（2）當(dāng)a＞0 時(shí)對(duì)任意x₁，x₂∈[-3，-1]恒有f（x₁）＞-ag（x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得，（-2x+3）a+x²+3＞0 對(duì)于任意a∈[-2，2]恒成立．設(shè)h（a）=（-2x+3）a+x²+3，則有

h(-2)=x2-4x+9＞0 h(2)=x2+4x-3＞0

，解不等式組可得x的范圍．
（2）由題意可知在區(qū)間[-3，-1]上，[f（x）]_min＞[-ag（x）]_max．利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）_min和[-ag（x）]_max 的值，解不等式求得a的范圍．
（3）分a=0、a＜0、a＞0三種情況，分別由條件求得a的范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）因?yàn)閷?duì)于任意a∈[-2，2]都有f（x）＞g（x） 成立，都有x²-ax+a+3＞ax-2a，
即（-2x+3）a+x²+3＞0 對(duì)于任意a∈[-2，2]恒成立．
設(shè)h（a）=（-2x+3）a+x²+3，則有

h(-2)=x2-4x+9＞0 h(2)=x2+4x-3＞0

，解不等式組可得x＞-2+

7

，或x＜-2-

7

．
（2）由題意可知在區(qū)間[-3，-1]上，[f（x）]_min＞[-ag（x）]_max．
因?yàn)閒（x）=x²-ax+a+3 的圖象的對(duì)稱軸x=

a

2

＞0，所以f（x）=x²-ax+a+3 在[-3，-1]上單調(diào)遞減，可得f（x）_min=f（-1）=2a+4．
因?yàn)?ag（x）=-a²x+2a² 在[-3，-1]上單調(diào)遞減，可得[-ag(x)]max=5a2，所以2a+4＞5a²，可得0＜a＜

1+ 21

5

．
（3）若a=0，則g（x）=0，不合題意，舍去．
若a＜0，由g（x）＜0 可得x＞2．原題可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間（2，+∞） 上存在x₀，使得f（x₀）＜0．
因?yàn)閒（x）=x²-ax+a+3 在[

a

2

，+∞) 上單調(diào)遞增，所以f（2）＜0，可得a＞7，又因?yàn)閍＜0，不合題意．
若a＞0，由g（x）＜0 可得x＜2，原題可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間（-∞，2）上若存在x₀，使得f（x₀）＜0．
當(dāng)

a

2

＞2 時(shí)，即a＞4 時(shí)，f（2）=7-a＜0，可得a＞7；當(dāng)

a

2

＜2 時(shí)，即0＜a＜4 時(shí)，f(

a

2

)＜0，可得a＞6 或a＜-2．
綜上可知a＞7．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．