Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上不與左右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，，分別為的內(nèi)心、重心，當(dāng)軸時(shí)，橢圓的離心率為( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

結(jié)合圖像，利用點(diǎn)坐標(biāo)以及重心性質(zhì)，得到G點(diǎn)坐標(biāo)，再由題目條件軸，得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后兩次運(yùn)用角平分線的相關(guān)性質(zhì)得到的比值，再結(jié)合與相似，即可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，也就是內(nèi)切圓半徑，再利用等面積法建立關(guān)于的關(guān)系式，從而求得橢圓離心率.

如圖，令點(diǎn)在第一象限（由橢圓對(duì)稱性，其他位置同理），連接，顯然點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，軸，過點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，，則，

因?yàn)?/span>為的重心，所以，

因?yàn)?/span>軸，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)也為，，

因?yàn)?/span>為的角平分線，

則有，

又因?yàn)?/span>，所以可得，

又由角平分線的性質(zhì)可得，，而

所以得，

所以，，

所以，即，

因?yàn)?/span>

即，解得，所以答案為A.