Question

已知函數(shù)f(x)=log2

x

-log

1

2

x，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，f(2an)=6n-

9

2

，n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)bn=

Sn

n+λ

，cn=bn•2bn，若非零常數(shù)λ使得{b_n}為等差數(shù)列，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將f(x)=log2

x

-log

1

2

x的解析式化簡(jiǎn)為f(x)=

3

2

log2x，進(jìn)而由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合f(2an)=6n-

9

2

，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）結(jié)合bn=

Sn

n+λ

，cn=bn•2bn，且{b_n}為等差數(shù)列，可求出λ的值，進(jìn)而求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法，得到數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（I）∵f(x)=log2

x

-log

1

2

x=log2x

1

2

+log₂x=

1

2

log₂x+log₂x=

3

2

log2x
∴f(2an)=6n-

9

2

=

3

2

log2(2an)=

3

2

an，
故a_n=4n-3
（II）由（I）得S_n=2n²-n，要使bn=

Sn

n+λ

=

2n(n- 1 2 )

n+λ

為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
則b_n=

2n(n- 1 2 )

n+λ

應(yīng)是關(guān)于n的一次函數(shù)，又由λ≠0
故λ=-

1

2

此時(shí)b_n=2n，cn=bn•2bn=2n•4ⁿ，
故T_n=2•4¹+2×2•4²+…+2（n-1）•4^n-1+2n•4ⁿ，…①
4T_n=0+2•4²+4•4³+…+2（n-1）•4ⁿ+2n•4ⁿ⁺¹，…②
①-②得：
-3T_n=2•4¹+2•4²+…+2•4ⁿ-2n•4ⁿ⁺¹=（

2

3

-2n）4ⁿ⁺¹-

8

3

∴T_n=（

2

3

n-

2

9

）4ⁿ⁺¹+

8

9

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)列求和，是對(duì)數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度較大．