Question

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．

（1）若a＝3，b＝，求c；

(2)求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）c＝4(2)(－1，1)

【解析】

試題分析：（1）由cosC＝sin(－C)．結(jié)合條件可得A－B＋C＝，從而B＝，再利用余弦定理求出c；

（2）結(jié)合B＝，利用正弦定理和兩角差的正弦將原式化為sin(2A－),由A的范圍可得原式的范圍.

試題解析：【解析】
（1）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(－C)．

∵△ABC是銳角三角形，∴A－B＝－C，即A－B＋C＝，①

又A＋B＋C＝π，②由②－①，得B＝．

由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得()2＝c2＋(3)2－2c×3cos，

即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．

當c＝2時，b2＋c2－a2＝()2＋22－(3)2＝－4＜0，

∴b2＋c2＜a2，此時A為鈍角，與已知矛盾，∴c≠2．

故c＝4． 6分

（2）由（1），知B＝，∴A＋C＝，即C＝－A．

∴＝＝＝sin(2A－)．

∵△ABC是銳角三角形，∴＜A＜，∴－＜2A－＜，

∴－＜sin(2A－)＜，∴－1＜＜1．

故的取值范圍為(－1，1)． 12分

考點：正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)性質(zhì).