Question

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點F(－2,0)，且長軸長與短軸長的比是2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設點M(m,0)在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點．當||最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

 (1)設橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，

由題意解得a²＝16，b²＝12.

所以橢圓C的方程為＋＝1.

(2)設P(x，y)為橢圓上的動點，由于橢圓方程為＋＝1，故－4≤x≤4.

因為＝(x－m，y)，所以||²＝(x－m)²＋y²

＝(x－m)²＋12×.

＝x²－2mx＋m²＋12＝(x－4m)²＋12－3m².

因為當||最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，

即當x＝4時，||²取得最小值．而x∈[－4,4]，

故有4m≥4，解得m≥1.

又點M在橢圓的長軸上，即－4≤m≤4.

故實數(shù)m的取值范圍是m∈[1,4]．