Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AB=

2

，AA₁=2，如圖．
（1）當點P在BB₁上運動時（點P∈BB₁，且異于B，B₁），設(shè)PA∩BA₁=M，PC∩BC₁=N，求證：MN∥平面ABCD．
（2）當點P是BB₁的中點時，求異面直線PC與AD₁所成角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：（1）通過觀察圖形，連接A₁C₁，AC，則AC∥A₁C₁，所以AC∥平面BA₁C₁，所以能夠證明AC∥MN，從而證明MN∥平面ABCD．
（2）通過觀察圖形，可知能夠建立空間直角坐標系，然后求向量

PC

，

AD1

的坐標，然后求這兩個向量的夾角，從而求得異面直線PC與AD₁所成角．

解答： 解：（1）連結(jié)AC，A₁C₁，由條件知AC∥A₁C₁；
∵A₁C₁?平面A₁C₁B，且AC?平面A₁C₁B，∴AC∥平面A₁C₁B；
又經(jīng)過AC的平面ACP∩平面A₁C₁B=MN，所以AC∥MN；
∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．，
（2）分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
則：P（

2

，

2

，1），C（0，

2

，0），A（

2

，0，0），D₁（0，0，2）；
∴

PC

=(-

2

，0，-1)，

AD1

=(-

2

，0，2)；
設(shè)向量

PC

和

AD1

的夾角為θ，則：
cosθ=

PC • AD1

| PC || AD1 |

=

0

3 • 6

=0；
∴θ=90°；
∴異面直線PC與AD₁所成角為90°．

點評：本題考查的知識點為：線線平行的判定，線面平行的判定定理，線面平行的性質(zhì)定理，空間直角坐標系，向量的坐標，向量數(shù)量積的坐標運算，向量的夾角，向量的模，注意這種通過建立空間直角坐標系來求異面直線所成角的方法．還一個需要掌握的是，要證明線線平行，通過證明線面平行得到．