Question

若函數(shù)滿足：集合中至少存在三個不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)是等比源函數(shù).

（Ⅰ）判斷下列函數(shù)：①；②；③中，哪些是等比源函數(shù)？（不需證明）

（Ⅱ）判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）證明：，函數(shù)都是等比源函數(shù).

Answer 1

解：（Ⅰ）①②③都是等比源函數(shù).                                

（Ⅱ）函數(shù)不是等比源函數(shù).                      

      證明如下：

假設(shè)存在正整數(shù)且，使得成等比數(shù)列，

      ，整理得，    

等式兩邊同除以得.

      因為，所以等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，

      所以等式不可能成立，

      所以假設(shè)不成立，說明函數(shù)不是等比源函數(shù).     

（Ⅲ）法1：

因為，都有，

所以，數(shù)列都是以為首項公差為的等差數(shù)列.

，成等比數(shù)列，

因為，

，

所以，

所以，函數(shù)都是等比源函數(shù).

（Ⅲ）法2：

因為，都有，

所以，數(shù)列都是以為首項公差為的等差數(shù)列.

         由，（其中）可得

         ，整理得

         ，

         令，則，

         所以，

         所以，數(shù)列中總存在三項成等比數(shù)列.

所以，函數(shù)都是等比源函數(shù).