Question

（本小題滿分12分）

                                                       

已知f (x)＝．

（1）求函數(shù)f (x)的值域．

（2）若f (t)＝3，求t的值．

（3）用單調(diào)性定義證明在［2，＋∞）上單調(diào)遞增．

 

Answer 1

【答案】

（1）（－∞，＋∞）;（2）;（3）見解析。

【解析】

試題分析：（1）注意分段函數(shù)定義域和值域的求法和要求，第一段值域為（－∞，1］，第二段值域為（0，4），

第三段值域為［4，＋∞），綜上，函數(shù)的值域為（－∞，＋∞）．       ……4分

（2）g (t)＝3，即t＋2＝3，t≤－1，不存在；

x²＝3，－1＜x＜2，解得：x＝，即t＝；

2x＝3，x≥2，x不存在．

綜上，t的值為．              ……8分

（3）因為函數(shù)在［2，＋∞）上的解析式為f (x)＝2x，任取x₁，x₂∈［2，＋∞），且x₁＜x₂，則

f (x₁)－f (x₂)＝2x₁－2x₂＝2(x₁－x₂)＜0，所以函數(shù)在［2，＋∞）上單調(diào)遞增．  ……12分

考點：本題考查分段函數(shù)、利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。

點評：分段函數(shù)的值域是各段表達式的y值的并集。