Question

觀察下列等式
1²=1
1²-2²=-3
1²-2²+3²=6
1²-2²+3²-4²=-10
…
照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：推理和證明

分析：等式的左邊是正整數(shù)的平方和或差，根據(jù)這一規(guī)律得第n個(gè)等式左邊為1²-2²+3²-4²+…（-1）^n-1n²．再分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論，結(jié)合分組求和法求和，最后利用字母表示即可．

解答： 解：觀察下列等式：
1²=1
1²-2²=-3
1²-2²+3²=6
1²-2²+3²-4²=-10
…
分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論：
第n個(gè)等式左邊為1²-2²+3²-4²+…（-1）^n-1n²．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分組求和（1²-2²）+（3²-4²）+…+[（n-1）²-n²]=-

n(n+1)

2

，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第n個(gè)等式左邊=（1²-2²）+（3²-4²）+…+[（n-2）²-（n-1）²]+n²=-

n(n-1)

2

+n²=

n(n+1)

2

．
綜上，第n個(gè)等式為1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=(-1)n+1•

n(n+1)

2

，
故答案為：(-1)n+1•

n(n+1)

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查規(guī)律型中的數(shù)字變化問(wèn)題，找等式的規(guī)律時(shí)，既要分別看左右兩邊的規(guī)律，還要注意看左右兩邊之間的聯(lián)系．