Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-3x+b

3x+1+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0和奇函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明．

解答： 解：（1）因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，即

-1+b

3+a

=0，解得b=1．---（2分）
從而有 f(x)=

-3x+1

3x+1+a

又由f（1）=-f（-1）知

-3+1

9+a

=-

- 1 3 +1

1+a

，解得a=3．----------（5分）
∴a=3，b=1．
（2）由（1）知f(x)=

-3x+1

3x+1+3

=-

1

3

+

2

3(3x+1)

----------------（7分）
對于任意的x₁∈R，x₂∈R且x₁＜x₂，---------------（8分）
∴△x=x₂-x₁＞0，
∴△y=f（x₂）-f（x₁）
=(-

1

3

+

2

3(3x2+1)

)-(-

1

3

+

2

3(3x1+1)

)
=

2(3x1-3x2)

3(3x1+1)(3x2+1)

＜0
所以函數(shù)f（x）在全體實數(shù)上為單調(diào)減函數(shù)．----------------（12分）

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，應(yīng)用定義進行解答即可．