【題目】已知函數(shù)f(x)a2x(k∈R,a>0,e為自然對數(shù)的底數(shù)),且曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為e2﹣a2.
(1)求實(shí)數(shù)k的值,并討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù)g(x),若對x1∈(0,+∞),x2∈R,使不等式f(x2)≤g(x1)﹣1成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)k=2,見解析(2)0<a.
【解析】
(1)求出,由已知求出
,
,求出
的范圍,即可得出結(jié)論;
(2)對x1∈(0,+∞),x2∈R,使不等式f(x2)≤g(x1)﹣1成立,轉(zhuǎn)化為由(1)求出
,用導(dǎo)數(shù)法求出
,即可求解.
(1),f'(1)
,
得,故k=2,a>0,所以
=e2x﹣a2=e2x﹣e2lna,
當(dāng)x∈(﹣∞,lna)時(shí),<0,f(x)遞減;
當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),,f(x)遞增;
單調(diào)遞減區(qū)間是
,單調(diào)遞增區(qū)間是
(2)根據(jù)(1)當(dāng)x∈R時(shí),f(x)有最小值為
f(lna),
g(x),
,
令h(x)=x2ex+lnx,顯然函數(shù)在(0,+∞)單調(diào)遞增,
由h()
,h(1)>0,
故h(x)在(,1)存在唯一的零點(diǎn)m,使得h(m)=0,
即m2em+lnm=0,當(dāng)x∈(0,m)時(shí),g(x)遞減;
x∈(m,+∞)時(shí),g(x)遞增;
故g(m)為g(x)的最小值,
g(m)﹣1
,
對于y與h(m)都單調(diào)遞增,
且當(dāng)時(shí),
0成立,
所以g(m)﹣1=0,
根據(jù)題意,0,即
,
故a,故0<a
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn),設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.
(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求
的最大值點(diǎn)
.
(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的作為
的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.
(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為,求
;
(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的定義為:在一個(gè)數(shù)列中,從第二項(xiàng)起,如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公差.類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義:_____________________________________;已知數(shù)列是等和數(shù)列,且
,公和為
,那么
的值為____________.這個(gè)數(shù)列的前
項(xiàng)和
的計(jì)算公式為_____________________________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列:
,
,
,…,
為1,2,3,…,
的一個(gè)排列,若
互不相同,則稱數(shù)列
具有性質(zhì)
.
(1)若,且
,寫出具有性質(zhì)
的所有數(shù)列
;
(2)若數(shù)列具有性質(zhì)
,證明:
;
(3)當(dāng)時(shí),分別判斷是否存在具有性質(zhì)
的數(shù)列
?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)若方程2[f(x)]2﹣5tf(x)+3t2=0恰有4個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.6931)( )
A.(,
)
B.(,
)
C.(,2﹣2ln2)∪(
,1)
D.(,2﹣1n2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某學(xué)校高三年級共1000名男生中隨機(jī)抽取50人測量身高,據(jù)測量,被測學(xué)生身高全部介于到
之間,將測量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組
,第二組
,…,第八組
.如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.其中第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求第六組、第七組的頻率,并估計(jì)高三年級全體男生身高在以上(含
)的人數(shù);
(2)學(xué)校決定讓這五十人在運(yùn)動(dòng)會上組成一個(gè)高旗隊(duì),在這五十人中要選身高在以上(含
)的兩人作為隊(duì)長,求這兩人在同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)場有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓弧(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米,點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為
,要求
均在線段
上,
均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為
.
(1)用分別表示矩形
和
的面積,并確定
的取值范圍;
(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為.求當(dāng)
為何值時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm,容器Ⅱ的兩底面對角線EG,E1G1的長分別為14cm和62cm. 分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12cm. 現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì))
(1)將l放在容器Ⅰ中,l的一端置于點(diǎn)A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒入水中部分的長度;
(2)將l放在容器Ⅱ中,l的一端置于點(diǎn)E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒入水中部分的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,
,
為邊
的中點(diǎn),以
為折痕把
折起,使點(diǎn)
到達(dá)點(diǎn)
的位置,且使平面
平面
.
(1)證明:平面
;
(2)求點(diǎn)到平面
的距離.
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