Question

如圖，在?ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，M為DC的中點(diǎn)．
（1）求

AM

•

BD

的值；
（2）設(shè)

AP

=λ

AB

，若AC⊥DP，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)

AD

=

a

，

AB

=

b

，可得

a

•

b

=|

a

||

b

|•cos60°．再利用向量的三角形法則、數(shù)量積運(yùn)算即可得出；
（2）利用向量的三角形法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)

AD

=

a

，

AB

=

b

，∴

a

•

b

=|

a

||

b

|•cos60°=1×2×

1

2

=1．

AM

=

AD

+

DM

=

a

+

1

2

b

，

BD

=

AD

-

AB

=

a

-

b

．
∴

AM

•

BD

=(

a

+

1

2

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

1

2

a

•

b

-

1

2

b

2=1-

1

2

×1-

1

2

×22=-

3

2

．
（2）

AC

=

a

+

b

，

DP

=

DA

+

AP

=-

a

+λ

b

．
∵

AC

⊥

DP

，
∴

AC

•

DP

=(

a

+

b

)•(-

a

+λ

b

)=0，
化為-

a

2+(λ-1)

a

•

b

+λ

b

2=0，
∴-1+（λ-1）×1+4λ=0，
解得λ=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的三角形法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．