Question

已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)，是否存在區(qū)間，使得當時函數(shù)的值域為，若存在求出，若不存在說明理由.

Answer 1

（1）時，為單調(diào)增區(qū)間；時，為單調(diào)遞減區(qū)間，為單調(diào)遞增區(qū)間；時，單調(diào)遞減區(qū)間為：， 單調(diào)遞增區(qū)間為：和；時，單調(diào)遞增區(qū)間為：.
（2）不存在.證明詳見解析.

試題分析：（1）先求導，然后根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)：的解集是區(qū)間，的解集是減區(qū)間求解即可.
(2)先求導可得，假設(shè)存在假設(shè)存在區(qū)間，使得當時函數(shù)的值域為，即，所以是，[m,n]為增區(qū)間，
由g（m）和g（n）的值可得方程有兩個大于的相異實根，再構(gòu)造函數(shù)，求，根據(jù)導函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值，證明h（x）在只存在一個零點即可.
試題解析：（1）    1分
①當時，由恒成立，在上單調(diào)遞增    2分
②當時，解得或
（�。┤�，則
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增    4分
（ⅱ）若，則 
在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減    6分
綜上所述：當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為：，
單調(diào)遞增區(qū)間為：；
當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為：
單調(diào)遞增區(qū)間為：和；
當時，單調(diào)遞增區(qū)間為：.    7分
(2)由題意，    8分
假設(shè)存在區(qū)間，使得當時函數(shù)的值域為，即，
當時，在區(qū)間單調(diào)遞增   9分
，即方程有兩個大于的相異實根    10分
設(shè)，
    11分
設(shè)
，，在上單調(diào)增，又，即存在唯一的使.   12分
當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；在處取到極小值.又   13分
在只存在一個零點，與方程有兩個大于的相異實根相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以不存在符合題意.          14分