Question

簡(jiǎn)化北京奧動(dòng)會(huì)主體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)俯視圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線AC、BD，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則外層橢圓方程可設(shè)為

x2

(ma)2

+

y2

(mb)2

=1(a＞b＞0，m＞1)，若AC與BD的斜率之積為-

9

25

，則橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  4

  5

• B、

  1

  2

• C、

  3

  5

• D、

  3

  4

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出切線AC和BD的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式等于0求得k₁和k₂的表達(dá)式，根據(jù)AC與BD的斜率之積求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，橢圓的離心率可得．

解答： 解：設(shè)切線AC的方程為y=k₁（x-ma），代入

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
消去y得（b²+a²k₁²）x²-2ma³k₁²x+m²a⁴k₁²-a²b²=0
由△=0⇒k₁²=

b2

a2

•

1

m2-1

，同理k₂²=

b2

a2

•（m²-1）
∴k₁²•k₂²=

b4

a4

，
∵AC與BD的斜率之積為-

9

25

，
∴

b2

a2

=

9

25

，
∴e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

4

5

，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．