Question

（本題滿分15分）如圖，在半徑為的半圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點A、B在直徑上，點C、D在圓周上，將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個以AD為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），記圓柱形罐子的體積為．

（1）按下列要求建立函數(shù)關系式：

①設，將表示為的函數(shù)；

②設（），將表示為的函數(shù)；

（2）請您選用（1）問中的一個函數(shù)關系，求圓柱形罐子的最大體積．

Answer 1

（1）①，（）

②，（）

（2）

【解析】

試題分析：（1）要將實際問題轉化為函數(shù)問題，根據(jù)題意構建數(shù)學模型，利用直角三角形 求底面圓的半徑 ，進而列出函數(shù)關系式（2）求體積的最大值轉化為求函數(shù)的最大值，先求導，再判斷單調性，再求最值。

試題解析：【解析】
（1）①，，

，（） 4分

②，，

，（） 8分

（2）選用：，，

令 ，則 10分

列表得：

	單調增	極大值	單調減

（不列表，利用導函數(shù)的符號，判斷出單調性同樣得分）

選用：令，

，

令 ，則 10分

列表得：

	單調增	極大值	單調減

，即 15分

（對直接求導求解也得分，）

答：圓柱形罐子的最大體積為．

考點：導數(shù)在實際問題中的應用