Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）=2^x+m•2^-x．
（1）求m的值，并求當(dāng)f（x）＞2^-x時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=0，求出m=-1，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解出不等式；
（2）當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，不等式f（x）＜k恒成立，等價(jià)為k＞f（x）_max，求出區(qū)間[-2，1]內(nèi)的最大值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴1+m=0，m=-1，
∴f（x）=2^x-2^-x，
∴f（x）＞2^-x即為2^x＞2^1-x，
∴x＞1-x，即x＞

1

2

．
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

1

2

，+∞）；
（2）∵f（x）=2^x-2^-x在R上遞增，
∴x∈[-2，1]時(shí)，f（x）_max=f（1）=2-

1

2

=

3

2

，
∴當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，不等式f（x）＜k恒成立，
有k＞f（x）_max，即k＞

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，及應(yīng)用，同時(shí)考查不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．