Question

已知函數的f（x）=

x2

x+m

圖象經過點（4，8）．
（1）求該函數的解析式；
（2）數列{a_n}中，若a₁=1，S_n為數列{a_n}的前n項和，且滿足a_n=f（S_n）（n≥2），證明數列{

1

Sn

}成等差數列，并求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由函數f（x）=

x2

x+m

的圖象經過點（4，8）得m=-2，由此能求出函數的解析式．
（2）由已知條件推導出數列{

1

Sn

}是首項為1，公差為

1

2

的等差數列，從而S_n=

2

n+1

，由此能求出a_n．

解答： （1）解：由函數f（x）=

x2

x+m

的圖象經過點（4，8）得：m=-2，
函數的解析式為f（x）=

x2

x-2

．…..（2分）
（2）證明：由已知，當n≥2時，a_n=f（S_n），即a_n=

Sn2

Sn-2

．
又S_n=a₁+a₂+…+a_n，
所以S_n-S_n-1=

Sn2

Sn-2

，即2S_n+S_n•S_n-1=2S_n-1，…..（5分）
所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，…..（7分）
又S₁=a₁=1．
所以數列{

1

Sn

}是首項為1，公差為

1

2

的等差數列．
由上可知

1

Sn

=1+

1

2

（n-1）=

n+1

2

，
即S_n=

2

n+1

．…..（10分）
所以當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n((n+1)

．
因此a_n=

1，n=1 - 2 n(n+1) ，n≥2

 …..（12分）

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查數列是等差數列的證明，考查數列的通項公式的求法，是中檔題．