Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）同時滿足：
①對任意x∈R，都有f（x+1）=-f（x）
②當x∈（0，1]時，f（x）=x，試解決下列問題：
（Ⅰ）求在x∈（2，4]時，f（x）的表達式；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=2x+m在（2，4]上有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍；

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)f（x+1）=-f（x）可求得f（x+2）=-f（x），進而根據(jù)x∈（0，1]時，f（x）的解析式求得x∈（2，3]時和x∈（3，4]的解析式，最后綜合可求得在x∈（2，4]時，f（x）的表達式；
（Ⅱ）設關于x的方程f（x）=2x+m在（2，4]上的實數(shù)解為x₀，利用（Ⅰ）中函數(shù)的解析式，建立不等式組，進而求得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵對任意x∈R，都有f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），
又x∈（0，1]時，∴f（x）=x
∴當x∈（2，3]時，x-2∈（0，1]，f（x）=f（x-2）=x-2
當x∈（3，4]時，x-1∈（2，3]，f（x）=-f（x-1）=-[（x-1）-2]=3-x
∴x∈（2，4]時，f（x）=

x-2，2＜x≤3 3-x，3＜x≤4

（Ⅱ）設關于x的方程f（x）=2x+m在（2，4]上的實數(shù)解為x₀
則

x0-2=2x0+m 2＜x0≤3

或

3-x0=2x0+m 3＜x0≤4

∴

x0=-2-m 2＜x0≤3

或

x0=1- m 3 3＜x0≤4

∴-5≤m＜-4或-9≤m＜-6

點評：本題主要考查了函數(shù)的周期性．考查了學生綜合分析問題和基本的推理能力．