Question

已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)K(0，－1)的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D.

(1)證明：點(diǎn)F在直線BD上；

(2)設(shè)·＝，求∠DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

D(－x1，y1)，l的方程為y＝kx－1，

由得x2－4kx＋4＝0，

從而x1＋x2＝4k，x1x2＝4.

直線BD的方程為y－y1＝ (x＋x1)，

即y－＝ (x＋x1)，

令x＝0，得y＝＝1，所以點(diǎn)F在直線BD上．

(2)因?yàn)镕A―→·FB―→＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)·(y2－1)＝8－4k2，

故8－4k2＝，解得k＝±，

所以l的方程為4x－3y－3＝0,4x＋3y＋3＝0.

又由(1)得x2－x1＝±＝±，

故直線BD的斜率為＝±，

因而直線BD的方程為x－3y＋3＝0，

x＋3y－3＝0.

設(shè)∠DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)為M(0，t)，

則M(0，t)到l及BD的距離分別為，，

由＝，得t＝或t＝9(舍去)，

所以∠DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)為

M.