Question

已知離心率分別為e₁、e₂的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和雙曲線(xiàn)C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個(gè)公共頂點(diǎn)為A、B，若P、Q分別為雙曲線(xiàn)C₂和橢圓C₁上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿(mǎn)足

OP

=λ

OQ

（λ∈R，|λ|＞1）．如果直線(xiàn)AP、BP、AQ、BQ的斜率依次記為k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求證：e₁²+e₂²=2；
（2）求證：k₁+k₂+k₃+k₄=0．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得e1=

c

a

=

a2-b2

a

，e2=

c′

a

=

a2+b2

a

，由此能證明e12+e22=2．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x12-a2=

a2

b2

y12，k1+k2=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=

2b2

a2

×

x1

y1

，k3+k4=

y2

x2+a

+

y2

x2-a

=-

2b2

a2

×

x2

y2

，由此能證明k₁+k₂+k₃+k₄=0．

解答： （1）證明：∵離心率分別為e₁、e₂的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和雙曲線(xiàn)C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴由已知得e1=

c

a

=

a2-b2

a

，e2=

c′

a

=

a2+b2

a

，
∴e12+e22=

a2-b2

a2

+

a2+b2

a2

=2．
（2）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵

x12

a2

-

y12

b2

=1，∴x12-a2=

a2

b2

y12，
k1+k2=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=

2x1y1

x12-a2

=

2b2

a2

×

x1

y1

，①
∵

x22

a2

+

y22

b2

=1，∴x22-a2=-

a2

b2

y22，
∴k3+k4=

y2

x2+a

+

y2

x2-a

=

2x2y2

x22-a2

=-

2b2

a2

×

x2

y2

，②
∵

OP

=λ

OQ

，∴O、P、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，
∴

x1

y1

=

x2

y2

，
∴由①②得k₁+k₂+k₃+k₄=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查e₁²+e₂²=2的證明，考查k₁+k₂+k₃+k₄=0的證明，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．