Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mx+n，且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）設(shè)g（x）=2sin（

πx

6

+

π

3

），若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]．f（x₂）＜g（x₁）恒成立，求n的取值范圍；
（3）討論方程[f（x）-n]=2n+1的實(shí)根個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，得-

m

2

=2，求出即可；
（2）由（1）得：f（x）=（x-2）²+n-4，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₂）_max＜g（x₁）_min恒成立，求出f（x）_max，g（x）_min，從而問(wèn)題解決；
3）方程[f（x）-n]=2n+1可化為|x²-4x|=2n+1，畫(huà)出函數(shù)h（x）=|x²-4x|，通過(guò)討論2n+1的范圍，進(jìn)而得到根的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∴-

m

2

=2，即m=-4；
（2）由（1）得：f（x）=（x-2）²+n-4，
∵對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]．f（x₂）＜g（x₁）恒成立，
∴x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，f（x₂）_max＜g（x₁）_min恒成立，
又∵f（x）在[-1，1]遞減，g（x）在[-1，1]遞增，
∴x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)：
f（x）_max=f（-1）=n+5，g（x）_min=g（-1）=1，
∴n+5＜1，
∴n＜-4；
（3）方程[f（x）-n]=2n+1可化為|x²-4x|=2n+1，
令h（x）=|x²-4x|，畫(huà)出函數(shù)圖象：
，
∴當(dāng)2n+1＜0，即n＜-

1

2

時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，
當(dāng)2n+1=0，即n=-

1

2

時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)根，
當(dāng)2n+1＞4，即n＞

3

2

時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)根，
當(dāng)2n+1=4，即n=

3

2

時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)根，
當(dāng)0＜2n+1＜4，即-

1

2

＜n＜

3

2

時(shí)，方程有4個(gè)實(shí)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，本題屬于中檔題．