Question

給出下列命題：
（1）設(shè)A、B為兩個定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
（2）若等比數(shù)列的n項(xiàng)s_n=2ⁿ+k，則必有k=-1；
（3）若x∈R⁺，則2^x+2^-x的最小值為2；
（4）曲線

x2

16

-

y2

9

=1與曲線

x2

35-λ

+

y2

10-λ

=1（λ＜35且λ≠10）有相同的焦點(diǎn)；
（5）平面內(nèi)到定點(diǎn)（3，-1）的距離等于到定直線x+2y-1的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線的定義，即可判斷（1）；運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和，即可求出k，判斷（2）；
運(yùn)用基本不等式，注意等號成立的條件，即可判斷（3）；討論λ＜10，10＜λ＜35，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷（4）；由拋物線的定義，注意定點(diǎn)不在定直線上，即可判斷（5）．

解答： 解：（1）由雙曲線的定義可知，到兩個定點(diǎn)的距離的差的絕對值為非零常數(shù)
（小于兩定點(diǎn)的距離）的軌跡是雙曲線，故（1）錯；
（2）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和s_n=2ⁿ+k，則a₁=S₁=2+k，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n＞1），
對n=1也成立，a₁=1，有k=-1，故（2）對；
（3）若x∈R⁺，則2^x+2^-x≥2

2x•2-x

=2，由于x＞0，故取不到最小值2，故（3）錯；
（4）曲線

x2

16

-

y2

9

=1的焦點(diǎn)為（-5，0），（5，0），
曲線

x2

35-λ

+

y2

10-λ

=1（λ＜35且λ≠10），若λ＜10，則為橢圓，其焦點(diǎn)為（-5，0），（5，0），
若10＜λ＜35，則為雙曲線

x2

35-λ

-

y2

λ-10

=1，其焦點(diǎn)為（-5，0），（5，0），故（4）對；
（5）由于定點(diǎn)（3，-1）在定直線x+2y-1上，故軌跡為過定點(diǎn)且垂直于已知直線的一條直線，故（5）錯．
故答案為：（2）（4）

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和，以及基本不等式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．