【題目】已知橢圓:
(
)的離心率為
,點
的坐標(biāo)為
,且橢圓
上任意一點到
點的最大距離為
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過點的直線
與橢圓
相交于
,
兩點,點
為橢圓
長軸上的一點,求
面積的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)利用橢圓的離心率可以求得,利用
的最大值求出
的值,即可求得橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程,為避免直線方程斜率是否存在的討論,可設(shè)直線方程為,先求
,
兩點間距離,再求點
到直線的距離,即可求面積,因為面積
由底和高兩部分構(gòu)成,所以分別求出兩部分的最大值,即可求出面積
的最大值.
(1)解法一:由題意可得離心率,
又,∴
,
,
令點為橢圓
上任意一點,
則
,
∴,∴
,
,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
解法二:由題意可得離心率,
又,∴
,
,
令橢圓上任意一點,
,
當(dāng)時,
,
,滿足
;
當(dāng)時,
,
解得(負值舍去),
,
則,不滿足條件,舍去,
綜上,,
,
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
;
(2)設(shè)點坐標(biāo)為
(
),
直線的方程為
,聯(lián)立直線方程與橢圓方
程化簡得,
令,
兩點的坐標(biāo)分別為
,
,
由韋達定理可得,
,
則,
化簡得,
點到直線
的距離
,
的面積
,
令,
則
,
當(dāng)時,
,
當(dāng)且僅當(dāng),
時等號成立,
此時,
,
,
當(dāng)且僅當(dāng)
時,
取到最大值為
,此時
面積
取到最大值,
即,此時直線
的方程為
,點
的坐標(biāo)為
,
綜上,面積的最大值為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)) .
(1)若在
處的取得極值為1,求
及
的值;
(2)時,討論函數(shù)
的極值;
(3)當(dāng)時,若直線
與曲線
沒有公共點,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)離心率為3,實軸長為1的雙曲線(
)的左焦點為
,頂點在原點的拋物線
的準(zhǔn)線經(jīng)過點
,且拋物線
的焦點在
軸上.
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線與拋物線
交于不同的兩點
,且滿足
,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在綜合素質(zhì)評價的某個維度的測評中,依據(jù)評分細則,學(xué)生之間相互打分,最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個分數(shù),滿分100分,按照大于或等于80分的為優(yōu)秀,小于80分的為合格,為了解學(xué)生的在該維度的測評結(jié)果,在畢業(yè)班中隨機抽出一個班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生,得到如下的列聯(lián)表:
優(yōu)秀 | 合格 | 總計 | |
男生 | 6 | ||
女生 | 18 | ||
合計 | 60 |
已知在該班隨機抽取1人測評結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.
(1)完成上面的列聯(lián)表;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為性別與測評結(jié)果有關(guān)系?
(3)現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況,采取簡單隨機抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來分析,請你選擇一個合適的抽樣方法,并解釋理由.
附:
0.25 | 0.10 | 0.025 | |
1.323 | 2.706 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)(
為自然對數(shù)的底數(shù))時,求
的最小值;
(2)討論函數(shù)零點的個數(shù);
(3)若對任意恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓右焦點F的坐標(biāo)為
,點
在橢圓C上,過F且斜率為
的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標(biāo)原點.
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)線段AB的垂直平分線與x軸、y軸分別相交于點C,D.若與
的面積相等,求直線l的斜率k.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),若關(guān)于x的方程
恰有5個相異的實根,則實數(shù)a的取值范圍為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是( )
A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省
B.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個
C.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元
D.與去年同期相比,2017年第一季度五個省的GDP總量均實現(xiàn)了增長
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