【題目】設(shè)離心率為3,實軸長為1的雙曲線(
)的左焦點為
,頂點在原點的拋物線
的準(zhǔn)線經(jīng)過點
,且拋物線
的焦點在
軸上.
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線與拋物線
交于不同的兩點
,且滿足
,求
的最小值.
【答案】(1);(2)12.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
,再由雙曲線的性質(zhì)求得
,即可求得拋物線
的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線
,與拋物線方程聯(lián)立,由韋達定理及弦長公式求解最值即可.
解:(1)由已知可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
,
在雙曲線
中有
解得,點
,
又拋物線的準(zhǔn)線方程為
,且經(jīng)過點
,
,
拋物線
的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
(2)設(shè)直線,
,
,
則聯(lián)立消去
得
,
故,
,
且,即
,
由點,
在拋物線
上得
,
由得
,
解得或
(舍),
則,滿足
,則
,
弦長
,當(dāng)且僅當(dāng)
時取等號,
故的最小值為12.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知(
),下列結(jié)論正確的是( )
①當(dāng)時,
恒成立;②當(dāng)
時,
的零點為
且
;③當(dāng)
時,
是
的極值點;④若
有三個零點,則實數(shù)k的取值范圍為
.
A.①②④B.①③C.②③④D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:
(
)的焦點為
,
為
上一動點,點
,以線段
為直徑作
.當(dāng)
過
時,
的面積為3.
(1)求的方程;
(2)是否存在垂直于軸的直線
,使得
被
所截得的弦長為定值?若存在,求
的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)設(shè)函數(shù),討論
的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù),若
的圖象與
的圖象有
,
兩個不同的交點,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最大值;
(2)若函數(shù)與
有相同極值點.
①求實數(shù)的值;
②若對于(
為自然對數(shù)的底數(shù)),不等式
恒成立,
求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體,給人于美的享受.如圖(1)為一花窗;圖(2)所示是一扇窗中的一格,呈長方形,長30 cm,寬26 cm,其內(nèi)部窗芯(不含長方形邊框)用一種條形木料做成,由兩個菱形和六根支條構(gòu)成,整個窗芯關(guān)于長方形邊框的兩條對稱軸成軸對稱.設(shè)菱形的兩條對角線長分別為x cm和y cm,窗芯所需條形木料的長度之和為L.
(1)試用x,y表示L;
(2)如果要求六根支條的長度均不小于2 cm,每個菱形的面積為130 cm2,那么做這樣一個窗芯至少需要多長的條形木料(不計榫卯及其它損耗)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
(
)的離心率為
,點
的坐標(biāo)為
,且橢圓
上任意一點到
點的最大距離為
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過點的直線
與橢圓
相交于
,
兩點,點
為橢圓
長軸上的一點,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的公差不為零,且
,
、
、
成等比數(shù)列,數(shù)列
滿足
(1)求數(shù)列、
的通項公式;
(2)求證:.
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