Question

若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件：
（i）直線l在點(diǎn)P（x₀，y₀）處與曲線C相切；（ii）曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過”曲線C．
下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①直線l：y=0在點(diǎn)P（0，0）處“切過”曲線C：y=x³
②直線l：x=-1在點(diǎn)P（-1，0）處“切過”曲線C：y=（x+1）²
③直線l：y=x在點(diǎn)P（0，0）處“切過”曲線C：y=sinx
④直線l：y=x在點(diǎn)P（0，0）處“切過”曲線C：y=tanx
⑤直線l：y=x-1在點(diǎn)P（1，0）處“切過”曲線C：y=lnx．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,曲線與方程

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：分別求出每一個(gè)命題中曲線C的導(dǎo)數(shù)，得到曲線在點(diǎn)P出的導(dǎo)數(shù)值，求出曲線在點(diǎn)P處的切線方程，再由曲線在點(diǎn)P兩側(cè)的函數(shù)值與對(duì)應(yīng)直線上點(diǎn)的值的大小判斷是否滿足（ii），則正確的選項(xiàng)可求．

解答： 解：對(duì)于①，由y=x³，得y′=3x²，則y′|_x=0=0，直線y=0是過點(diǎn)P（0，0）的曲線C的切線，
又當(dāng)x＞0時(shí)y＞0，當(dāng)x＜0時(shí)y＜0，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=0兩側(cè)，
∴命題①正確；
對(duì)于②，由y=（x+1）²，得y′=2（x+1），則y′|_x=-1=0，
而直線l：x=-1的斜率不存在，在點(diǎn)P（-1，0）處不與曲線C相切，
∴命題②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由y=sinx，得y′=cosx，則y′|_x=0=1，直線y=x是過點(diǎn)P（0，0）的曲線的切線，
又x∈(-

π

2

，0)時(shí)x＜sinx，x∈(0，

π

2

)時(shí)x＞sinx，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側(cè)，
∴命題③正確；
對(duì)于④，由y=tanx，得y′=

1

cos2x

，則y′|_x=0=1，直線y=x是過點(diǎn)P（0，0）的曲線的切線，
又x∈(-

π

2

，0)時(shí)tanx＜x，x∈(0，

π

2

)時(shí)tanx＞x，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側(cè)，
∴命題④正確；
對(duì)于⑤，由y=lnx，得y′=

1

x

，則y′|_x=1=1，曲線在P（1，0）處的切線為y=x-1，
設(shè)g（x）=x-1-lnx，得g′(x)=1-

1

x

，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上有極小值也是最小值，為g（1）=0．
∴y=x-1恒在y=lnx的上方，不滿足曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，
命題⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，判斷③④時(shí)應(yīng)熟記當(dāng)x∈(0，

π

2

)時(shí)，tanx＞x＞sinx，該題是中檔題．