Question

如圖所示，一根水平放置的長方體枕木的安全負荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比．
（1）將此枕木翻轉(zhuǎn)90°（即寬度變?yōu)榱撕穸龋�，枕木的安全負荷會發(fā)生變化嗎？變大還是變小？為什么？
（2）現(xiàn)有一根橫截面為半圓（半圓的半徑為R）的柱形木材，用它截取成橫截面為長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度，問橫截面如何截取，可使安全負荷最大？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)題意，可設(shè)原來的安全負荷為y1=k

ad2

l2

(k＞0)，將此枕木翻轉(zhuǎn)90°后，枕木的寬度與厚度互換，安全負荷變?yōu)椋?span id="j6rdqh7" class="MathJye">y2=k

da2

l2

．然后通過作商比較大小，討論a、d的大小關(guān)系，可得正確結(jié)論；
（2）半圓的半徑為R，設(shè)截取的枕木寬為a，高為d，則根據(jù)垂徑定理，得a²+4d²=4R²．其長度l及k為定值，安全負荷為y=f(a)=

k

l2

ad2，利用導數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)安全負荷為y1=k

ad2

l2

(k＞0)，…（1分）
翻轉(zhuǎn)90°后y2=k

da2

l2

…（2分）
可得：

y1

y2

=

d

a

…（3分）
當a=d，y₁=y₂時，枕木的安全負荷不變；a＞d＞0，y₁＜y₂時，枕木的安全負荷變大；0＜a＜d，y₁＞y₂枕木的安全負荷變小．…（6分）
（2）設(shè)截取的寬為a（0＜a＜2R），高為d，(

a

2

)2+d2=R2則a²+4d²=4R²…（7分）
其長度l及k為定值，安全負荷為y=f(a)=

k

l2

ad2
令g(a)=ad2=a(R2-

a2

4

)，a∈(0，2R)…（8分）
g′(a)=-

3

4

a2+R2=0⇒a=

2 3

3

R…（10分）
g′(a)＞0⇒0＜a＜

2 3

3

R，g′（a）＜0，可得

2 3

3

R＜a＜2R
∴g(a)在(0，

2 3

3

a)遞增，(

2 3

3

a，2R)遞減…（12分）
當寬a=

2 3

3

R，高d=

6

3

R時，安全負荷最大．…（13分）

點評：本題借助于一個實際問題，通過求枕木安全負荷的最值，著重考查了基本不等式在最值問題中的應用，考查了根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型的方法，屬于中檔題．