Question

若關(guān)于x的方程x²+mx+m-1=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，且負(fù)根的絕對(duì)值較大，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意畫出f（x）=x²+mx+m-1的圖象，方程x²+mx+m-1=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，由題意不妨設(shè)x₁＞0，x₂＜0，且|x₁|＜|x₂|，有

f(0)＜0 - m 2 ＜0

，解得0＜m＜1．

解答： 解：根據(jù)題意，畫出f（x）=x²+mx+m-1的圖象，如圖所示．
圖象的對(duì)稱軸為直線x=-

m

2

．
因?yàn)榉匠蘹²+mx+m-1=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，
則函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
由題意不妨設(shè)x₁＞0，x₂＜0，且|x₁|＜|x₂|．
由題意，有

f(0)＜0 - m 2 ＜0

，故

m-1＜0 m＞0

．
∴0＜m＜1．
即所求的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，考查用根與系數(shù)的關(guān)系將根的特征轉(zhuǎn)化為不等式組求解參數(shù)范圍，本題解法是解決元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系一個(gè)基本方法，應(yīng)好好體會(huì)其轉(zhuǎn)化技巧．