Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且對任意的n∈N^*滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=a_2n-1+a_2n（n=1，2，3，…），問數(shù)列{b_n}是否是等差數(shù)列？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=a_2n-1+a_2n（n=1，2，3，…），

解答： 解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，則數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∵a₁=8，a₄=2，∴a₄-a₁=3d=8-2=6，
∴d=2，
則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=8+2（n-1）=2n+6；
（2）b_n=a_2n-1+a_2n，
則b_n+1-b_n=a_2n+1+a_2n+2-a_2n-1-a_2n=（a_2n+2-a_2n）+（a_2n+1-a_2n-1），
∵數(shù)列{a_n}是公差d=2的等差數(shù)列，
∴a_2n+2-a_2n=a_2n+1-a_2n-1=2d=4，
∴b_n+1-b_n=（a_2n+2-a_2n）+（a_2n+1-a_2n-1）=4+4=8為常數(shù)，
故數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的求解以及等差數(shù)列的判斷，根據(jù)等差數(shù)列的定義以及數(shù)列的遞推關(guān)系判斷數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．