Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+lnx．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上存在單調(diào)減區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個極值點，求a的取值范圍，并證明f（x）的極小值小于-

3

2

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得x＞0，f′(x)=2ax-2+

1

x

，由此利用導數(shù)的幾何意義能求出a=

1

2

．
（2）由已知得f′(x)=2ax-2+

1

x

≤0，即a≤

1

x

-

1

2x2

=

2x-1

2x2

，設h（x）=

2x-1

2x2

，h′（x）=

4x-4x2

4x4

=

1-x

x3

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．
（3）由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，a＞0，解得：0＜a＜

1

2

．設2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂，由導數(shù)性質(zhì)得x₂是f（x）的極小值點，由此利用導數(shù)性質(zhì)和構(gòu)造法能證明f（x）的極小值f（x₂）＜-

3

2

．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²-2x+lnx，
∴x＞0，f′(x)=2ax-2+

1

x

，
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行，
∴f′（1）=2a-2+1=0，解得a=

1

2

．
（2）f′(x)=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

，
∵函數(shù)f（x）在[2，+∞）上存在單調(diào)減區(qū)間，
∴f′(x)=2ax-2+

1

x

≤0，
∴a≤

1

x

-

1

2x2

=

2x-1

2x2

，
設h（x）=

2x-1

2x2

，h′（x）=

4x-4x2

4x4

=

1-x

x3

，
∵x＞2，∴h′（x）＜0，
∴h（x）是減函數(shù)，∴h（x）_max=h（2）=

3

8

，
∴a≤

3

8

．
（3）由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，
故△＞0，a＞0，解得：0＜a＜

1

2

；
設2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂，
因為在區(qū)間（0，x₁），（x₂，+∞）均有f′（x）＞0，
而在區(qū)間（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，
故x₂是f（x）的極小值點，
∴2ax₂²-2x₂+1=0，∴a=

2x2-1

2x22

，
由0＜a＜

1

2

，知x₂＞

1

2

，且x₂≠1，
∴f(x2)=ax22-2x2+lnx2
=

2x2-1

2x22

•x22-2x2+lnx2
=lnx₂-x₂-

1

2

（x2＞

1

2

，且x₂≠1），
構(gòu)造函數(shù)Q（x）=lnx-x-

1

2

（x＞

1

2

且x≠1），
Q′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
∴Q（x）＜Q（1）=-

3

2

，
∴f（x）的極小值f（x₂）＜-

3

2

．

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)和構(gòu)造法的合理運用．