Question

已知函數在點處的切線方程為.
（1）求、的值；
（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）證明：當，且時，.

Answer 1

（1），；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）利用已知條件得到兩個條件：一是切線的斜率等于函數在處的導數值，二是切點在切線上也在函數的圖象上，通過切點在切線上求出的值，然后再通過和的值列有關、的二元一次方程組，求出、的值；（2）解法1是利用參數分離法將不等式在區(qū)間上恒成立問題轉化為不等式在區(qū)間上恒成立，并構造函數，從而轉化為，并利用導數求出函數的最小值，從而求出的取值范圍；解法2是構造新函數，將不等式在區(qū)間上恒成立問題轉化為不等式在區(qū)間上恒成立問題，等價于利用導數研究函數的單調性，對的取值進行分類討論，通過在不同取值條件下確定函數的單調性求出，圍繞
列不等式求解，從而求出的取值范圍；（3）在（2）的條件下得到，在不等式兩邊為正數的條件下兩邊取倒數得到，然后分別令、、、、，利用累加法以及同向不等式的相加性來證明問題中涉及的不等式.
試題解析：（1），.
直線的斜率為，且過點，
，即解得，；
（2）解法1：由（1）得.
當時，恒成立，即，等價于.
令，則.
令，則.
當時，，函數在上單調遞增，故.
從而，當時，，即函數在上單調遞增，
故.
因此，當時，