已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn=an2+an,數(shù)列{bn}滿足b1=1,2bn-bn-1=0(n≥2,n∈N *
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)n=1時(shí),解得a1=1,n≥2時(shí),an-an-1=1,由此求出數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,從而an=1+n-1=n.
(2)由已知得{bn}是首項(xiàng)為1,公比為
1
2
的等比數(shù)列,從而bn=(
1
2
)n-1
.cn=anbn=n•(
1
2
)n-1
,由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn
解答: 解:(1)n=1時(shí),2S1=2a1=a12+a1
a12-a1=0,解得a1=0(各項(xiàng)均為正數(shù),舍去)或a1=1,
n≥2時(shí),
2Sn=an2+an,
2Sn-1=an-12+an-1,
2Sn-2Sn-1=2an=an2+an-an-12-an-1
an2-an-12-an-an-1=0
(an+an-1)(an-an-1)-(an+an-1)=0
(an+an-1)(an-an-1-1)=0
∵數(shù)列各項(xiàng)均為正,∴an-an-1=1,
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
∴an=1+n-1=n.
(2)∵數(shù)列{bn}滿足b1=1,2bn-bn-1=0(n≥2,n∈N *),
∴{bn}是首項(xiàng)為1,公比為
1
2
的等比數(shù)列,
bn=(
1
2
)n-1

∴cn=anbn=n•(
1
2
)n-1

∴Tn=1+2×
1
2
+3×(
1
2
)2
+…+n•(
1
2
)n-1
,①
1
2
Tn=
1
2
+2×(
1
2
)2+3×(
1
2
)3+…+n•(
1
2
)n
,②
①-②,得:
1
2
Tn
=1+
1
2
+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n-1-n•(
1
2
)n

=
1-(
1
2
)n
1-
1
2
-n•(
1
2
)n

=2-(n+2)•(
1
2
n
Tn=4-(2n+4)•(
1
2
)n
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.
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