Question

4．已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且滿足f（π-x）=f（x），當(dāng)0≤x≤$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=cosx-1，則當(dāng)0≤x≤π時(shí)，f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積為（　�。�

• A． π-2
• B． 2π-4
• C． 3π-6
• D． 4π-8

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的周期是2π，分別求出函數(shù)的解析式，利用積分的應(yīng)用即可得到結(jié)論．

解答 解：由f（π-x）=f（x）得f（x+π）=f（-x）=-f（x），
當(dāng)0≤x≤$\frac{π}{2}$，由已知得到f（x）=cosx-1，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)$\frac{π}{2}$＜x≤π時(shí)，0＜π-x≤$\frac{π}{2}$，
所以由f（π-x）=f（x）=cos（π-x）-1=-cosx-1，
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx-1，0≤x≤\frac{π}{2}}\\{-cosx-1，\frac{π}{2}＜x≤π}\end{array}\right.$，
所以當(dāng)0≤x≤π時(shí)，f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積-${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（cosx-1）dx+{∫}_{\frac{π}{2}}^{π}（-cosx-1）dx$=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（1-cosx）dx+{∫}_{\frac{π}{2}}^{π}（cosx+1）dx$=（x-sinx）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$+（sinx+x）|${\;}_{\frac{π}{2}}^{π}$=π-2；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用積分求面積，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性分別求出對(duì)應(yīng)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．