Question

已知函數(shù)f（x）=xsinx+cosx，給出如命題：
①f（x）是偶函數(shù)；
②f（x）在[0，

3π

2

]上單調(diào)遞減，在(

3π

2

，2π]上單調(diào)遞增；
③函數(shù)f（x）在[-

3π

2

，

3π

2

]上有3個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤x²+1恒成立；
其中正確的命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①利用偶函數(shù)的定義判斷；
②利用導(dǎo)數(shù)求解，導(dǎo)數(shù)大于0求增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0求減區(qū)間；
③研究極值、端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)；
④轉(zhuǎn)化為f（x）-（x²+1）≤0恒成立，因此只需求左邊函數(shù)的最大值小于0即可．

解答： 解：對(duì)于①，顯然定義域?yàn)镽，f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x）．所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以①為真命題；
對(duì)于②，f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，故②為假命題；
對(duì)于③，令f（x）=0，所以

1

x

=-tanx，做出y=

1

x

及y=-tanx在[-

3π

2

，

3π

2

]上的圖象可知，它們?cè)赱-

3π

2

，

3π

2

]上只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以原函數(shù)在[-

3π

2

，

3π

2

]有兩個(gè)零點(diǎn)，故③為假命題；

對(duì)于④，要使當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤x²+1恒成立，只需當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）-x²-1≤0恒成立，即y=xsinx+cosx-x²-1≤0恒成立，而y′=xcosx-2x=（cosx-2）x顯然小于等于0恒成立，所以該函數(shù)在[0，+∞）上遞減，因此x=0時(shí)y_max=0+cos0-1=0，故當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤x²+1恒成立，故④為真命題．
故答案為①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點(diǎn)的方法，要注意數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．