【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓,設(shè)
是橢圓
上任一點(diǎn),從原點(diǎn)
向圓
作兩條切線,切點(diǎn)分別為
.
(1)若直線互相垂直,且點(diǎn)
在第一象限內(nèi),求點(diǎn)
的坐標(biāo);
(2)若直線的斜率都存在,并記為
,求證:
.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)由直線互相垂直,且與圓
相切,可得
,再由
在橢圓上,滿足橢圓方程,求得點(diǎn)
的坐標(biāo);(2)運(yùn)用直線和圓相切的條件:
,結(jié)合二次方程的韋達(dá)定理和點(diǎn)
滿足橢圓方程,化簡整理,即可得證.
試題解析:(1)由題意得:圓的半徑為
,因?yàn)橹本€
互相垂直,且與圓
相切,所以四邊形
為正方形,故
,即
①
又在橢圓
上,所以
②
由①②及在第一象限,解得
,所以點(diǎn)
.
(2)證明:因?yàn)橹本€,
均與圓
相切,所以
,化簡得
.同理有
,所以
是方程
的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以
,又因?yàn)?/span>
在橢圓
上,所以
,即
,所以
,即
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,
為坐標(biāo)原點(diǎn),C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為
,曲線
上的動(dòng)點(diǎn)P滿足
.又曲線
上的點(diǎn)A、B滿足
.
(1)求曲線的方程;
(2)若點(diǎn)A在第一象限,且,求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(3)求證:原點(diǎn)到直線AB的距離為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某人打算做一個(gè)正四棱錐形的金字塔模型,先用木料搭邊框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一條棱和邊都相等.
(1)求證:直線AC垂直于直線SD;
(2)若搭邊框共使用木料24米,則需要多少立方米的填充材料才能將整個(gè)金字塔內(nèi)部填滿?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面
是菱形,
,
,
為
邊的中點(diǎn),點(diǎn)
在線段
上.
(1)證明:平面平面
;
(2)若,
平面
,求四棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中,
,
,
的前
項(xiàng)和為
,且滿足
(
).
(1)試求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)令,
是
的前
項(xiàng)和,證明:
;
(3)證明:對(duì)任意給定的,均存在
,使得
時(shí),(2)中的
恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知表示不小于
的最小整數(shù),例如
.
(1)設(shè),
,若
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)設(shè),
在區(qū)間
上的值域?yàn)?/span>
,集合
中元素的個(gè)數(shù)為
,求證:
;
(3)設(shè)(
),
,若對(duì)于
,都有
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)
的距離與它到直線
的距離
的比值為
,設(shè)動(dòng)點(diǎn)
形成的軌跡為曲線
..
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與曲線
交于
兩點(diǎn),過
點(diǎn)作
,垂足為
,過
點(diǎn)作
,垂足為
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列中存在三項(xiàng),按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列,則稱
為“等比源數(shù)列”。
(1)在無窮數(shù)列中,
,
,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)在(1)的結(jié)論下,試判斷數(shù)列是否為“等比源數(shù)列”,并證明你的結(jié)論;
(3)已知無窮數(shù)列為等差數(shù)列,且
,
(
),求證:數(shù)列
為“等比源數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為
、
,P為該雙曲線上一點(diǎn),滿足
,P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為d,且
,則
________.
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